Page 4 - Filtrage numérique

Version 1.0.0 du 1/10/2006 Le Filtrage numérique

p = 2 z− 1 donc H ()p devient H ( )z
Te z + 1

Cette transformation des fonctions de transfert du plan complexe à des fonctions de z,
s’appelle la transformée en z.

3.2 - Application au filtre passe-bas de Butterworth d’ordre 1.
Si l’on remplace dans l’expression de la fonction de transfert du filtre passe-bas de
Butterworth d’ordre 1, RC par τ et p=jω par son expression en fonction de z, on obtient la
fonction de transfert en fonction de z, soit :
−
( +
1 z−
1
()=
1
Hz 2 z− = Tz 1) = T e . T − 2τ
e
( ++
1 τ+ . . 1 Tz 1) 2 (zτ − 1) T + 2τ 1+ e z − 1
e
e
Tz+ 1 T + 2τ
e
e
On remarque dans cette expression que les coefficients des puissances négatives de z du
numérateur et du dénominateur sont respectivement A0, A1 et B1 :
()=
Hz A + A z − 1
1
0
1 Bz− 1 − 1
3.3 - Généralisation.
Pour calculer les coefficients Ak et Bj permettant de déterminer ensuite l’expression de
Vs(nTe), il suffit de calculer la transformée en z de la transmittance complexe du filtre et de
la mettre sous la forme :
()=
Hz A + A z − 1 + A z − 2 + A z − 3 + ... A z+ k − k
3
2
1
0
1 B z− 1 − 1 − Bz − 2 − ... Bz− j − j
2
Les coefficients Ak et Bj étant alors tous connus, on peut construire l'algorithme du filtre.
3.4 - Méthodologie.
La mise au point d’un filtre numérique récursif RII, se fait donc selon la méthodologie
suivante :
1 - On détermine le gabarit exact du filtre analogique que l’on veut transformer en
filtre numérique,
2 - On calcule sa fonction de transfert dans le plan complexe H(jω), ou directement en
fonction du Laplacien p, si l’on sait calculer la transformée de Laplace d’une équation
différentielle.
3 - On transforme cette fonction de p en une fonction de z par équivalence bi-linéaire,
ce qui revient à poser p=2(z-1)/Te(z+1)
4 - On en déduit l’ordre m du filtre par la connaissance des coefficients Ak et Bj.
5 - On programme alors une boucle récurrente, pour n variant de 1 à l’infini telle que :
km= jp=
−
⎡
⎡
⎤
)
Vs (nTe = ∑ A k . Ve n k Te ⎥− ∑ B j . Vs n − ) j Te ⎥ ⎤ 1
)
( ⎢
( ⎢
k= 0 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ j= 1 ⎢ ⎣ ⎥ ⎦
Cette boucle de programme permet de calculer toutes les valeurs des échantillons nTe
de la grandeur de sortie.
6 - On filtre en sortie avec un filtre analogique passe-bas de façon à supprimer le bruit
de calcul (bruit de quantification).

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